Questão 01 — Função por partes, domínio e imagem

Expresse o domínio da função dada por partes, esboce seu gráfico e determine sua imagem.

f(x)= \begin{cases} x^2, & x\leq 0\\ x^3, & 0<x\leq 1\\ 2x-1, & x>1 \end{cases}

Função narrada:

f de x é igual a x ao quadrado, se x é menor ou igual a zero.

f de x é igual a x ao cubo, se x é maior que zero e menor ou igual a um.

f de x é igual a dois x menos um, se x é maior que um.

Domínio

A função está definida nos intervalos:

(-\infty,0]\cup(0,1]\cup(1,\infty)

Logo:

D(f)=\mathbb{R}

Imagem

f(x)=x^2,\quad x\leq 0

Para a primeira parte:

f(x)=x^2,\quad x\leq 0

Como:

x^2\geq 0

e, quando $x\leq 0$ , a expressão $x^2$ assume todos os valores reais maiores ou iguais a zero, temos:

\operatorname{Im}_1=[0,\infty)

Para a segunda parte:

f(x)=x^3,\quad 0<x\leq 1

Logo:

\operatorname{Im}_2=(0,1]

Para a terceira parte:

f(x)=2x-1,\quad x>1

Como:

x>1 \Rightarrow 2x-1>1

temos:

\operatorname{Im}_3=(1,\infty)

Portanto:

\operatorname{Im}(f) = [0,\infty)\cup(0,1]\cup(1,\infty)

Como os dois últimos intervalos já estão contidos no primeiro, concluímos:

\operatorname{Im}(f)=[0,\infty)

Resposta final

\boxed{D(f)=\mathbb{R}}

\boxed{\operatorname{Im}(f)=[0,\infty)}

Gráfico

Imaginário

O gráfico da função é formado por três partes.

A primeira parte é uma parábola, dada por $y=x^2$ , mas usamos apenas o trecho em que $x\leq0$ . Visualmente, é o braço esquerdo da parábola, chegando ao ponto $(0,0)$ .

A segunda parte é a curva cúbica $y=x^3$ , usada apenas no intervalo $0<x\leq1$ . Ela começa logo depois de 0 e chega ao ponto $(1,1)$ .

A terceira parte é a reta $y=2x-1$ , usada apenas para $x>1$ . Ela continua crescendo a partir de valores maiores que 1.

Pontos importantes para marcar no gráfico

$(0,0)$ ; $(1,1)$

O ponto $(0,0)$ pertence ao gráfico.

O ponto $(1,1)$ pertence ao gráfico.

Na terceira parte, a reta $y=2x-1$ também se aproxima de $(1,1)$ , mas essa regra só vale para $x>1$ .

Glossário

Função por partes: função definida por regras diferentes em intervalos diferentes.

Domínio: conjunto de valores de entrada permitidos para a função.

Imagem: conjunto de valores que a função pode assumir.

Parábola: gráfico típico de uma função quadrática.

Função cúbica: função em que a variável aparece elevada ao cubo.

Função afim: função do tipo $ax+b$ , cujo gráfico é uma reta.

Intervalo: conjunto contínuo de números reais entre dois extremos, podendo ou não incluir esses extremos.

Solução comentada narrada

O primeiro passo é observar em quais intervalos a função está definida.

A primeira regra vale para todos os números menores ou iguais a zero.

A segunda regra vale para os números maiores que zero e menores ou iguais a um.

A terceira regra vale para todos os números maiores que um.

Esses três intervalos cobrem todos os números reais. Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais.

Agora analisamos a imagem.

Na primeira parte, temos x ao quadrado. Quando x é menor ou igual a zero, x ao quadrado produz valores maiores ou iguais a zero. No ponto x igual a zero, a função vale zero.

Na segunda parte, temos x ao cubo, com x entre zero e um. Essa parte produz valores maiores que zero e menores ou iguais a um.

Na terceira parte, temos dois x menos um, com x maior que um. Quando x é maior que um, dois x menos um é maior que um.

Juntando as três partes, a função assume todos os valores maiores ou iguais a zero.

Áudio: em preparação.

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